FIBONACCI - parte 1
·
Leonardo
Pisano, matemático italiano do século XIII, publicou um famoso livro (Líber Abaci) em que introduzia na
Europa o sistema Hindo-Arábico (decimal – símbolos de 0 a 9), hoje
universalmente aceito e utilizado. Isso facilitou enormemente os cálculos
matemáticos que antes eram feitos com os algarismos Romanos (I, V, X, L, C, D e
M). Tornou-se o maior matemático da Idade Média.
·
No mesmo livro, Leonardo Pisano se debruçou na resolução da seguinte
questão: “Quantos pares de coelhos colocados numa área fechada poderiam ser
produzidos em um ano, começando de um par de coelhos, se cada par gerava um
novo par a cada mês, a partir do segundo mês?” Pressupostos:
1. No
primeiro mês nasce somente um casal;
2. Casais amadurecem sexualmente após o segundo mês de vida;
3. Não há problemas genéticos no cruzamento consanguíneo;
4. Todos os meses, cada casal dá à luz a um novo casal;
5. Os coelhos nunca morrem;
2. Casais amadurecem sexualmente após o segundo mês de vida;
3. Não há problemas genéticos no cruzamento consanguíneo;
4. Todos os meses, cada casal dá à luz a um novo casal;
5. Os coelhos nunca morrem;
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Seguindo essa lógica e as condições
estabelecidas previamente por Fibonacci
temos a sequência:
o 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144... Resposta para a questão = 144 casais em
12 meses
· Essa sequência INFINITA
tem uma LEI de formação bem simples:
o A
SOMA de dois números adjacentes (juntos) quaisquer dá origem ao próximo número.
Vejamos:
·
Outras relações matemáticas muito interessantes
derivadas da sequência de Fibonacci:
o Após
os primeiros números da sequência, a RAZÃO (divisão) de qualquer número
pelo imediatamente posterior é igual a aproximadamente 0,618... e para o
imediatamente anterior é igual a aproximadamente 1,618... (Phi). 0,618 e 1,618
são conhecidos como razão áurea, número de ouro, número divino etc.
Assim, qualquer
número da sequência multiplicado por 1,618 (Phi) será igual, aproximadamente, ao número seguinte: 2 x 1,618 = 3,236 ; 5 x 1,618 = 8,09 ; 89 x 1,618 = 144,002
o Inverso
de Phi = 1 / 1,618 = 0,618 .
o 1
+ 0,618 = 1 / 0,618 = 1,618.
o Relações
entre números EQUIDISTANTES quaisquer derivam da razão áurea:
§
Exemplo: se pegarmos 2 números quaisquer da
sequência de Fibonacci que tenham uma casa de distância entre eles, ou
seja, entre eles existe um outro número, e fizermos uma proporção matemática,
essa será a MESMA (aproximadamente) que outros dois números quaisquer que
guardem essa mesma casa de distância entre eles. Por exemplo:
Ø
3/8 = 0,375; 13/34= 0,3823; 21/55= 0,38181;
55/144= 0,38194; 610/1597= 0,38196
Ø
8/3 = 2,6666; 34/13= 2,6153; 55/21= 2,6190;
144/55= 2,6181; 1597/610= 2,6180
§
Observe o esquema abaixo:
§
Os números áureos (0,618 e 1,618) e seus
múltiplos (0,382, 2,618, 0,238, 4,236 etc.) vão nos interessar muito para os
estudos de AT relacionada a Fibonacci.
§
A SEQUÊNCIA 0,238 - 0,382 – 0,618 – 1,00 – 1,618
– 2,618 – 4,236 também é uma sequência de Fibonacci,
pois obedece às relações entre os termos:
Ø
0,238+0,382 = 0,618 1,00+1,618 = 2,618 1,618+2,618 = 4,236
Ø
2,618/1,618 = 1,618 0,618/0,382 = 1,6178 4,236/2,618 = 1,6180
Ø
0,382/0,618 = 0,6181 2,618/4,23 = 0,6180 0,238/0,382 = 0,6230
o Dois
números consecutivos da sequência de Fibonacci
são primos entre si.
o O
décimo segundo termo – 144 – é o único elemento da sequência que é quadrado
perfeito (exceto o 1).
o A
soma dos dez primeiros termos consecutivos quaisquer da sequência é sempre um
número ímpar divisível por 11.
o O dobro de um número qualquer da sequência de Fibonacci menos o termo consecutivo ao
número escolhido resulta no segundo termo que precede o número escolhido.
o Dados
três termos consecutivos da sequência de Fibonacci,
o produto do primeiro com o terceiro é igual ao quadrado do segundo menos uma
unidade.
o A
diferença dos quadrados de dois números de Fibonacci
alternados é sempre um numero de Fibonacci.
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