quinta-feira, 12 de junho de 2014

       FIBONACCI - parte 1

·     Leonardo Pisano, matemático italiano do século XIII, publicou um famoso livro (Líber Abaci) em que introduzia na Europa o sistema Hindo-Arábico (decimal – símbolos de 0 a 9), hoje universalmente aceito e utilizado. Isso facilitou enormemente os cálculos matemáticos que antes eram feitos com os algarismos Romanos (I, V, X, L, C, D e M). Tornou-se o maior matemático da Idade Média.
·     No mesmo livro, Leonardo Pisano se debruçou na resolução da seguinte questão: “Quantos pares de coelhos colocados numa área fechada poderiam ser produzidos em um ano, começando de um par de coelhos, se cada par gerava um novo par a cada mês, a partir do segundo mês?” Pressupostos:

1. No primeiro mês nasce somente um casal;
2. Casais amadurecem sexualmente após o segundo mês de vida;
3. Não há problemas genéticos no cruzamento consanguíneo;
4. Todos os meses, cada casal dá à luz a um novo casal;
5. Os coelhos nunca morrem;



 


·     Seguindo essa lógica e as condições estabelecidas previamente por Fibonacci temos a sequência:
o  1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...   Resposta para a questão = 144 casais em 12 meses

·    Essa sequência INFINITA tem uma LEI de formação bem simples:
o  A SOMA de dois números adjacentes (juntos) quaisquer dá origem ao próximo número. Vejamos:

   
                                       
·     Outras relações matemáticas muito interessantes derivadas da sequência de Fibonacci:
o  Após os primeiros números da sequência, a RAZÃO (divisão) de qualquer número pelo imediatamente posterior é igual a aproximadamente 0,618... e para o imediatamente anterior é igual a aproximadamente 1,618... (Phi). 0,618 e 1,618 são conhecidos como razão áurea, número de ouro, número divino etc.

   
       Assim, qualquer número da sequência multiplicado por 1,618 (Phi) será igual, aproximadamente, ao número seguinte: 2 x 1,618 = 3,236 ; 5 x 1,618 = 8,09 ; 89 x 1,618 = 144,002

o  Inverso de Phi = 1 / 1,618 = 0,618 .

o  1 + 0,618 = 1 / 0,618 = 1,618.

o  Relações entre números EQUIDISTANTES quaisquer derivam da razão áurea:

§ Exemplo: se pegarmos 2 números quaisquer da sequência de Fibonacci que tenham uma casa de distância entre eles, ou seja, entre eles existe um outro número, e fizermos uma proporção matemática, essa será a MESMA (aproximadamente) que outros dois números quaisquer que guardem essa mesma casa de distância entre eles. Por exemplo:

Ø 3/8 = 0,375; 13/34= 0,3823; 21/55= 0,38181; 55/144= 0,38194; 610/1597= 0,38196
Ø 8/3 = 2,6666; 34/13= 2,6153; 55/21= 2,6190; 144/55= 2,6181; 1597/610= 2,6180

§ Observe o esquema abaixo:



    
§ Os números áureos (0,618 e 1,618) e seus múltiplos (0,382, 2,618, 0,238, 4,236 etc.) vão nos interessar muito para os estudos de AT relacionada a Fibonacci.

§ A SEQUÊNCIA 0,238 - 0,382 – 0,618 – 1,00 – 1,618 – 2,618 – 4,236 também é uma sequência de Fibonacci, pois obedece às relações entre os termos:

Ø 0,238+0,382 = 0,618     1,00+1,618 = 2,618    1,618+2,618 = 4,236
Ø 2,618/1,618 = 1,618      0,618/0,382 = 1,6178     4,236/2,618 = 1,6180
Ø 0,382/0,618 = 0,6181     2,618/4,23 = 0,6180     0,238/0,382 = 0,6230

o  Dois números consecutivos da sequência de Fibonacci são primos entre si.
o  O décimo segundo termo – 144 – é o único elemento da sequência que é quadrado perfeito (exceto o 1).
o  A soma dos dez primeiros termos consecutivos quaisquer da sequência é sempre um número ímpar divisível por 11.
o   O dobro de um número qualquer da sequência de Fibonacci menos o termo consecutivo ao número escolhido resulta no segundo termo que precede o número escolhido.
o  Dados três termos consecutivos da sequência de Fibonacci, o produto do primeiro com o terceiro é igual ao quadrado do segundo menos uma unidade.
o  A diferença dos quadrados de dois números de Fibonacci alternados é sempre um numero de Fibonacci.

Fonte: Livro "Fundamentos de Análise Técnica de Ações", Palex - 2014.




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